Ecuación: ¿Qué es una ecuación?

Ecuación

Definición:

Una ecuación se define como la igualdad de dos expresiones matemáticas, donde existe por lo menos una variable, llamada incógnita.

Observe cómo es una ecuación:

Toda ecuación tiene al signo Igual “=”, el cual indica igualdad de expresiones. Entonces, se puede decir que la expresión x + 2 es igual a 7, donde la variable es “x”.

Ejemplos de Ecuaciones:

1. 7x + 3 = 2x + 4
2. senx = cosy
3. √x + 3 = 5
4. x² = x – 1
5. x³ + 3x¾ + 1 = 0

En estos 5 ejemplos vemos diferentes tipos de ecuaciones, además de observar que una ecuación puede tener uno o más incógnitas, como el ejemplo 2 que tiene a “x” e “y” como variables.

Las ecuaciones pueden ser verdaderas o falsas dependiendo del valor que se le dé a la variable, veamos como es esto:

Ejemplo:

3x + 1 = 10

Demos valores a la variable para analizar su resultado:

Si: x = 1 ⇒ en la ecuación:

3(1) + 1 = 10

4 = 10 …[Ecuación es Falsa]

Si: x = 2, ⇒ en la ecuación:

3(2) + 1 = 10

7 = 10…[Ecuación es Falsa]

Si: x = 3, ⇒ en la ecuación:

3(3) + 1 = 10

10 = 10…[Ecuación es Verdadera]

Por lo tanto, la ecuación será verdadera cuando el valor de la variable x sea igual a 3, es decir, la ecuación satisface para x = 3.

¡Importante!:

Cuando se resuelve una ecuación, se espera que se halle la solución de esta; o sea, el valor de la variable(s) o incógnita(s). Esto hace interesante a una ecuación; y para los matemáticos es motivo de intriga o deseo por resolverlos.

Tipos de Ecuaciones

Como habíamos apreciado las ecuaciones pueden ser de diferentes tipos y dependerá en que campo de las matemáticas se plantee, podemos clasificarlos así:

a. Ecuaciones Algebraicas:

Son ecuaciones que se pueden resolver dentro del campo del álgebra lineal, son también llamados ecuaciones polinómicas. Estas ecuaciones además se subdividen en otros tipos de ecuaciones donde dependerá del grado del polinomio, tenemos:

• Ecuación de primer grado, se le llama también ecuación lineal, ejemplo: x + 6 = 7
• Ecuación de segundo grado, ejemplo: x² + 3x + 1 = 0
• Ecuación de tercer grado o cúbica, ejemplo: x³ + 2x = 3
• Ecuación de cuarto grado o Bicuadrada, ejemplo: x⁴ + x² – 8 = 0
• Ecuación de grado mayor, son aquellas ecuaciones que pueden tener como grado a 5, 6, 7, …, n. Donde: n ∈ ℤ⁺. Ejemplo: x⁷ + x⁴ – 1 = 0

Estos tipos de ecuaciones son quizás las más estudiadas y analizadas. Todo estudiante escolar debe aprender su teoría, pues le servirá en temas futuros de matemáticas y hasta en la vida real.

b. Ecuaciones No Algebraicas:

Son aquellas ecuaciones que para resolverlas se requiere de otros conocimientos, como el cálculo y análisis matemático. Por lo general, estas ecuaciones son estudiadas en el bachillerato y en la universidad.

Podemos mencionar:

• Ecuaciones Diferenciales
• Ecuaciones Trigonométricas
• Ecuaciones Logarítmicas
• Ecuaciones Exponenciales
• Ecuaciones Integrales

¿Cómo se resuelve una Ecuación?

Para resolver una ecuación se debe tener los conocimientos mínimos de teoría de ecuaciones, en las cuales dependiendo que tipo de ecuación se tenga, tendrá una forma distinta de resolverlo por los métodos que existen.

Veamos un ejemplo sencillo de cómo se resuelve una ecuación de primer grado paso a paso.

Resolver la ecuación:

6x + 3 = 15

Resolución:

Método 1: “Razonamiento”

Notamos que en todos los términos existe múltiplo de 3, luego podemos reducirlo a:

2x + 1 = 5

Aquí nos preguntamos: ¿Qué número multiplicado por dos y sumado uno nos da como resultado el número cinco? ¿Lo tienes? …exacto es “2”. Vez lo fácil que fue razonar y buscar inmediatamente el valor de x.

Método 2: “Algebraico”

6x + 3 = 15

Aquí hay que despejar x; es decir, dejar sólo a la variable en un lado o miembro y al otro los números o coeficientes. Observe cómo se realiza.

Paso 1: restar “3” a ambos miembros, entonces nos quedaría:

6x + 3 – 3 = 15 – 3

⇒ 6x = 12

Paso 2: dividir ambos miembros entre “6”

6x/6 = 12/6

∴ X = 2

Note que por ambos métodos se llega al mismo resultado; pero existirán ecuaciones más complejas que usted tendrá que decidir qué método emplear y recuerde: “resolver una ecuación de primer grado no es lo mismo que resolver una ecuación cúbica o de otro tipo”.

Por último, hay que señalar que las ecuaciones representan un tema muy importante en Álgebra. Adquirir la habilidad y técnicas para resolverlas resulta de suma importancia, esto solo se logrará con una teoría sólida y mucha práctica en la resolución de problemas.